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A l'origine les mathématiques sont apparues à partir de problèmes concrets. Les
nombres, en particulier, ont servi d'abord à compter (entiers naturels) puis
à mesurer: il s'agit alors de représenter une longueur géométrique, une
unité de longueur étant choisie. Les nombres rationnels (quotients de deux entiers) ne
suffisent pas. On s'en rend compte dès l'époque de Pythagore (-560,-480) : la
longueur de la diagonale d'un carré de coté 1 (qu'on représente par le symbole 
) n'est pas un
rationnel (cliquer ici pour une
démonstration élémentaire).
Ainsi on peut construire un segment dont la longueur n'est pas représentée par un
rationnel : le problème de la droite réelle est posé, on peut
le formuler ainsi:
Étant donné une droite avec une origine et une unité de longueur (ou deux points de la droite affectés respectivement des nombres 0 et 1), on cherche à associer à tout point de la droite un nombre ou encore à représenter la droite par un ensemble de nombres. Cet ensemble de nombres est celui des réels .
son : animation :
D'autre part avec les entiers naturels, et avec les rationnels on calcule : on
additionne (et, si cela est possible, on soustrait), on multiplie (et, si cela est
possible, on divise). Les ensembles de nombres ont des structures algébriques
(on y définit des opérations qui ont certaines propriétés). Sans donner la
construction de ces ensembles rappelons en brièvement le principe de la méthode.
L'ensemble de base est N ensemble des entiers naturels, il est muni de deux lois:
addition notée +
multiplication notée . ou 
.
En symétrisant l'addition, ce qui revient à rendre la soustraction toujours possible, on obtient l'ensemble Z des entiers relatifs.
De même, en symétrisant sur Z*=Z\{0} la multiplication, on obtient l'ensemble Q des rationnels.
On remarque que, dans les deux cas, il s'agit de le même méthode: opération algébrique de symétrisation.
L'ensemble Q est un corps commutatif (rappel de la définition).
D'autre part les entiers naturels servent à ordonner (premier, second,..) ; la
relation d'ordre sur N se prolonge sur Z
puis sur Q. Cette relation d'ordre ( total)
notée 
est compatible
avec la structure de corps
(rappel de la définition).
La construction de R est une opération plus difficile, il existe plusieurs méthodes suivant que l'on cherche à combler l'une ou l'autre des "lacunes" de Q. On admet ici l'existence de R, on en donne les propriétés fondamentales : propriétés algébriques, propriétés de l'ordre total (ces propriétés sont liées par la condition de compatibilité), propriétés topologiques. Des propriétés de la relation d'ordre se dégage le concept de borne supérieure , des propriétés topologiques celui de voisinage. Il s'agit de notions qui sont à la base de l'étude des suites comme de l'étude locale des fonctions. Notons l'importance, théorique et pratique, du fait que Q est dense dans R.
L'ensemble R n'en a pas moins des "lacunes", ainsi l'équation x2+1=0 n'a pas de racines réelles; d'où la nécessité de construire C (construction algébrique exclusivement).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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