La réunion de deux sous-espaces n'est pas en général un sous-espace, sauf cas très particulier. L'opération d'addition permet de définir la somme de deux sous-espaces ; cette somme s'avère être en fait le plus petit sous-espace contenant leur réunion. La propriété d'unicité de l'écriture d'un vecteur comme somme de vecteurs appartenant à deux sous-espaces donnés conduit à la notion de somme directe et de sous-espaces supplémentaires

   Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource

   Indispensable

Définition d'un sous-espace vectoriel.

   Utile

La théorie des ensembles et en particulier les opérations d'intersection et de réunion de sous-ensembles.

   Ce que vous allez apprendre, améliorer ou tester dans cette ressource

Construire un sous-espace vectoriel en faisant la somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels.
Définir et caractériser les sommes pour lesquelles l'écriture d'un vecteur comme somme de vecteurs appartenant aux différents sous-espaces est unique.
Décomposer un espace vectoriel en somme de sous-espaces supplémentaires.

   Ce que vous devez savoir faire à la fin de la ressource

Ne pas confondre la somme et la réunion de sous-espaces.
Reconnaître si la somme de sous-espaces est directe.
Connaître la définition de sous-espaces supplémentaires

   Ce qui vous est proposé

Les définitions de la somme, de la somme directe et d'un supplémentaire avec leurs propriétés caractéristiques ; le tout étant illustré par des exemples et des représentations dans R³.

   Temps prévu

60 mn
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble des définitions et exemples.

Générique

Cette ressource a été écrite et réalisée par le Groupe d'Innovation Pédagogique (G.U.I.P.) de l'Université Bordeaux 1. Sa réalisation a été financée par le programme 'Premier Cycle sur Mesure' (P.C.S.M.), piloté par le Ministère. L'ergonomie est celle adoptée par le Réseau Universitaire des Centres d'Autoformation (R.U.C.A.) et conçue par la Société Archimed.