Mécanique - Chapitre C - 5

C.5. Moment cinétique d'un système de points matériels Définition Référentiel du centre d'inertie  C.5.1. Définition Calculons le moment cinétique par rapport à un point A d'un point matériel Mi du système précédent dans un référentiel [R] : Le moment cinétique d'un système de points matériels par rapport à A est la somme (vectorielle) des moments cinétiques de chacun des points matériels du système calculés dans le même référentiel et par rapport au même point A : Comme pour une seule masse, la valeur du moment cinétique dépend du point pris pour origine.    C.5.2. Référentiel du centre d'inertie On appelle référentiel du centre d'inertie [RG] (ou référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique) d'un système matériel, un référentiel dont l'origine est au centre de masse du système matériel et dont les axes sont constamment parallèles aux axes respectifs d'un référentiel galiléen [R]. Remarque: Le moment cinétique n'est pas invariant par changement de référentiel puisqu'il dépend de la vitesse. Il existe un cas particulier qui fait exception à cette règle. Considérons deux référentiels [R]: (O, x, y, z) et [R']: (O', x', y', z') en translation l'un par rapport à l'autre; cela signifie que les directions respectives des axes de [R'] sont fixes par rapport à [R]; pour simplifier nous les prendrons respectivement parallèles. Le repère [R'] est repéré dans [R] uniquement par la position de son origine O' (en fait la position de n'importe quel point fixe de R' conviendrait); le mouvement de O' dans [R] peut être quelconque (le mot "translation" ne signifie pas mouvement rectiligne). Appelons la vitesse de O' dans [R] (ce vecteur peut varier en norme et en direction). Soit un système (S) de N points matériels et considérons un point A quelconque (il n'est pas forcément fixe dans [R] ni dans [R']); nous pouvons calculer le moment cinétique du système (S) par rapport à A dans [R] et dans [R']. Appelons la vitesse d'un point matériel Mi de masse mi de (S) dans [R] et la vitesse de Mi dans[R'], le moment cinétique s'écrit : par rapport à R : par rapport à R' : La relation de composition des vitesses donne ( étant nulle) : ou encore Le signe S ne porte pas sur O' qui ne dépend pas du point i. En tenant compte de la définition du centre de masse, l'expression entre crochet s'écrit : Et par suite: Le point A étant quelconque, nous pouvons en particulier le prendre au centre de masse G du système et on a alors la propriété remarquable suivante:   Le moment cinétique d'un système matériel par rapport à son centre d'inertie défini dans un référentiel [R], est le même dans tout référentiel en translation par rapport à [R].

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