|
|
 |
|
|
|
Soit f une application de I dans R. Intuitivement f est continue en x0 si f(x) est voisin de f(x0) quand x est voisin de x0, ou si f(x)- f(x0) est petit quand x - x0 est petit.
| Définition. On dit que f est continue en x0 si l'une ou l'autre des propriétés équivalentes (a) ou (b) est vérifiée. (a) Pour tout voisinage V de f(x0), il existe un voisinage U de x0 tel que, si x appartient à U  I, alors f(x) appartient à V.(b) Quel que soit  >0, il existe >0 tel que, si x appartient à I et vérifie
|x- x0| < , on ait | f(x)-f(x0)| < . |
La propriété (b) se traduit en langage formalisé :
.
Il est bien évident que dépend a priori de f, de et de x0. Par ailleurs les inégalités sont
indifféremment larges ou strictes.
(Exemples)
| Proposition. Si f est continue en x0 alors f est bornée au voisinage de x0. |
La traduction formelle de cette proposition est la suivante :
.
Preuve: Le choix d'un =1 par exemple permet de conclure
(Preuve).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
|
|
|
