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Il s'agit de donner une définition correspondant à la situation de l'exemple a.. On considère un intervalle I, non réduit à un point, de R, un point x0 de I et une application f de I \{x0}, noté I*, dans R.
| Définition 1. La fonction f est prolongeable par continuité en x0 s'il existe un réel  tel que la
fonction f*, définie par : soit continue en x0 . |
La définition suivante est équivalente.
| Définition 2. On dit que f a une limite quand x tend vers x0 , s'il existe un réel tel que, quel que soit  >0, il existe  >0 tel que, si x appartient à I* et
vérifie |x- x0|< , on ait  |
Soit en langage formalisé :
.
Il résulte immédiatement qu'une fonction qui a une limite quand x tend vers x0
est bornée au voisinage de ce point.
Une fonction f qui n'a pas de limite en x0 est caractérisée par la
proposition :
.
C'est le cas dans l'exemple d ainsi que dans l'exemple e où la fonction est non bornée au voisinage de 0.
| Proposition. Définition. Le nombre ainsi
défini est unique. On dit que est la limite de f quand x tend vers x0 . |
Preuve.
Soit 
une suite
d'éléments de I* admettant x0 pour limite; la suite (f*(un))=(f(un))
est donc convergente et a pour limite , ce qui entraîne l'unicité de .
Notation.
On écrit :
.
On dit également que est la limite de f en x 0.
Attention: comme pour les suites, on utilise le symbole 
seulement quand l'existence de la limite a été établie.
De la proposition précédente on déduit en particulier :
| Théorème. Pour qu'une application f de I* dans R ait une limite quand x tend vers x0, il faut et il suffit que, pour toute suite d'éléments de I* qui
vérifie  , la suite (f(un))
soit convergente. |
Les suites (f(un)) ont alors toutes la même limite qui est celle de la fonction f quand x tend vers x0.
Remarque.
La définition 2 s'applique immédiatement dans le cas où f est définie sur I;
dans ce cas on a 
et f est
continue en x0.
Dans l'exemple c, f3 n'a pas de limite quand x tend
vers 0, on aurait sinon =0. Mais, si l'on considère la restriction de f3 à
R* soit 
, alors a comme limite 0 en 0, cela correspond au
concept dit "limite quand x tend vers x 0, x
x 0" que l'on écrit :
.
On formalise ainsi ce concept :
.
On a donc introduit deux concepts de limite; on remarque qu'ils coïncident pour une application définie sur I \{x0}, ce qui est en fait le cas intéressant. Seul le premier concept est envisagé dans l'enseignement secondaire, c'est celui que nous utiliserons, les modifications pour passer à l'autre concept sont immédiates.
Le concept de limite s'étend sans difficulté quand x tend vers 
, dans le cas d'une application f
d'un intervalle I, voisinage de , dans R.
| Définition. On dit que la fonction f a une limite quand x tend vers +  , s'il existe un réel tel que, quel que soit >0, il existe B tel que l'inégalité
x>B entraîne | f(x)- | < . |
Soit en langage formalisé :
;
on écrit 
.
Ainsi dans le cas de l'exemple e on a
.
On définit de même la limite d'une fonction quand x tend vers -.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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