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On considère un intervalle I, un point x0 de I intérieur à I et f une application de I dans R.
| Définition. On dit que f admet un extremum local en x0 , s'il existe un intervalle ouvert I(x0) centré en x0 tel que, pour x appartenant à I(x0), f(x)-f(x0) garde un signe constant. |
Il s'agit d'un minimum si f(x)-f(x0)
0, d'un
maximum si f(x)-f(x0)
0.
Si la dérivée existe, son annulation, qui entraîne que le graphe a une tangente horizontale, donne une condition nécessaire pour qu'il y ait un extremum local.
| Proposition. Si f est dérivable en x0 et si f admet en x0 un extremum local, alors f'(x0)=0. |
Preuve. (Pour un minimum)
On a pour xx0 
, d'où f '(x0)0,
et pour xx0 
, d'où f '(x0)0.
On en déduit f '(x0)=0.
Attention: la réciproque est
fausse : il suffit de considérer la fonction 
au point 0.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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