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On considère une fonction réelle dont on note D l'ensemble de définition.
| Définition. On dit que f est périodique s'il existe un réel T  R * tel que :On dit que T est une période de f et que f est T-périodique. |
Une conséquence immédiate de la définition est que si f est T-périodique alors - T est aussi une période de f.
(Exemples)
On conviendra désormais, pour une fonction périodique f, de considérer également 0 comme une période de f.
| Proposition. Si f est périodique et si T et T' sont des périodes de f, alors T+T' est une période de f. |
Preuve: Cela repose sur la définition (Preuve).
Si l'ensemble des périodes strictement positives de f a un plus petit élément strictement positif, soit T0 cet élément est appelé période fondamentale de f .
| Propriété. Toutes les périodes de f sont de la forme nT0 avec n Z. |
Preuve: Elle repose sur la division euclidienne d'une période T par la période fondamentale T0 (Preuve).
Ainsi les fonctions sinus et cosinus ont pour période fondamentale 2
et la fonction tangente . On désignera souvent par
période la période fondamentale.
Il peut se faire que T n'ait pas de plus petit élément strictement positif,
c'est le cas pour la fonction caractéristique des rationnels : dans ce cas tout
rationnel est période.
Remarque
Soit f une fonction telle qu'il existe 
vérifiant
alors le graphe de f est invariant par les translations de vecteur (nT, n
).
(Exemples)
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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