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Quand une partie A non vide de R est majorée, elle admet une
infinité de majorants, et si a est un majorant de A, tout réel
supérieur à a est majorant de A. Il est donc naturel de
s'intéresser à l'existence éventuelle d'un plus petit majorant.
C'est ce concept de plus petit majorant que l'on
va formaliser en exprimant que tout réel qui lui est strictement inférieur n'est
pas majorant.
| Définition. Si l'ensemble des majorants (resp. minorants ) d'une partie A de R admet un plus petit (resp. grand) élément, celui ci est appelé borne supérieure (resp. inférieure) de A et se note sup A (resp. inf A).
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| Propriétés. 1. Si A a une borne supérieure (resp. inférieure), celle-ci est unique. 2. Si A a un plus grand (resp. petit) élément a, alors a=sup A (resp. inf A). |
Preuve: La propriété 1. vient du fait que
la borne supérieure est le plus petit des majorants et la 2.
découle de la définition.
La réciproque de 2. est fausse comme le montre l'exemple :
on a sup A=2
A et inf A=1; 2 est plus grand élément, 1 n'est
pas plus petit élément.
Remarque: Toute partie majorée de Q n'admet
pas nécessairement de borne supérieure
(Exemple).
C'est cette "lacune" de Q qui est à la base
d'une construction de R (méthode dite des coupures).
| Définition. R est défini comme devant satisfaire aux conditions suivantes : (i) R est un corps totalement ordonné, |
La propriété (iii) est dite propriété de la borne supérieure.
La propriété (ii) exprime que R est une extension de Q c'est à dire que R est un corps qui contient le corps Q; en fait R est le plus petit corps contenant Q et qui possède la propriété de la borne supérieure. On remarque qu'il ne peut être question de borne supérieure dans C puisque ce corps n'est pas muni d'une relation d'ordre (a fortiori d'une relation d'ordre total).
On obtient, bien évidemment, en considérant l'ensemble des opposés de la partie envisagée, la propriété :
Toute partie non vide minorée de R admet une borne inférieure.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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