Analyse 1 Les Réels Propriétés de l'ordre Majorants, minorants

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On désigne par A une partie non vide de R.

Définitions.
  • On dit qu'un réel a est un majorant de A si tout élément de A est inférieur ou égal à a .
    a majorant de A équivaut à :
  • On dit que A est majorée si A admet un majorant (elle en admet alors une infinité).
    On définit de même un minorant, une partie minorée.
  • A est bornée si A est majorée et minorée.

Remarque: Une partie non vide de R n'a pas toujours de majorant; lorsqu'elle en a un, elle admet une infinité (Exemples).

Définition.
On dit qu'un réel a est plus grand  élément (ou maximum) de A si a appartient à A et est un majorant  de A .
a plus grand élément de A équivaut à :

On définit de même la notion de plus petit élément (ou minimum).

Remarque: une partie majorée (resp. minorée) n'a pas nécessairement de plus grand (resp. petit) élément (Exemples).

Propriété.
Si A a un plus grand (resp. petit) élément celui-ci est unique.

Preuve:On aurait sinon ab et ba, d'où a=b.

On note alors max A (resp. min A ) le plus grand (resp. petit) élément de A.

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

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