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Parmi les rationnels les décimaux ont un rôle pratique important, leur intérêt est d'approcher les réels d'aussi près que l'on veut, ce qui permet les calculs sur les réels.
| Définition. Un réel d est un nombre décimal s'il existe k  N tel que 10kdZ. |
(Exemples)
On note D l'ensemble des décimaux; on a l'inclusion:
D
Q
mais attention D n'est pas un corps: 3 est un décimal mais non 1/3.
Le théorème suivant exprime l'équivalence entre quatre propriétés, la première, dite propriété d'Archimède, exprime le fait que tout réel peut être "dépassé" par les multiples d'un réel positif quelconque.
| Théorème. R est un corps archimédien , c'est à dire qu'il satisfait à l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes : (i) étant donné deux réels y et x,
x strictement positif, il existe un entier n 10k yk yk est l'approximation décimale d'ordre k ou à 10 -k près par défaut de y. |
Preuve : On démontre les implications (i) 
(ii), (ii) (iii),(iii) (iv), (iv) (i); puis on montre
(i) par l'absurde (Preuve).
La propriété d'Archimède, est dans R une conséquence de la propriété de la borne supérieure; toutefois elle n'est pas caractéristique de R, Q est également archimédien mais ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.
On remarque que, dans les calculs numériques, lorsqu'on "approche" 1/3 par 0,33, cela correspond à la double inégalité:
;
0,33 est l'approximation décimale d'ordre 2 (ou à 10-2 près) par défaut de 1/3, tandis que 0,34 est l'approximation par excès.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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