|
|
 |
|
|
|
Le théorème précédent s'étend dans certains cas
où interviennent des suites tendant vers 
.
Par contre il est d'autres cas où l'on ne peut pas
conclure de façon générale. Cela justifie, a posteriori, la réserve vis à vis
de la notation 
.
Encore une fois les suites qui tendent vers ne sont pas des suites convergentes, même si leur comportement,
parmi les suites divergentes est particulier.
Toutes les propositions énoncées dans ce paragraphe se démontrent immédiatement. Leur
preuve peut constituer un exercice facile.
| Proposition. Soient  et  deux suites réelles ; on suppose que
tend vers + . Alors si est bornée ou tend vers +, + tend
vers +. |
Preuve: Utilliser les définitions.
En revanche si tend vers -, on ne peut conclure de façon générale
comme le montrent les exemples suivants.
Exemples
On considère la suite = (n2)
et on prend successivement pour les
suites (n), (-n2 +1) et (-n3).
La suite + tend vers + dans le premier cas, a pour limite 1 dans
le second, tend vers - dans le
troisième.
| Proposition. Soient et deux suites réelles ; on suppose que
tend vers + (resp. -). Alors si
tend vers + (resp. -) ou est minorée en
valeur absolue par un réel strictement positif, la suite tend vers + ou -, (le signe étant donné par la règle
habituelle). |
Preuve: Utilliser les définitions.
En revanche si 
on ne peut pas conclure
de manière générale comme le montrent les exemples suivants.
Exemples
On considère la suite = (n)
et on prend successivement pour les
suites 
La suite a pour limite 0 dans le premier cas, 1
dans le second et tend vers + dans
le troisième.
| Proposition. Soit une suite réelle.Si tend vers alors  est définie à partir d'un certain rang, elle converge et a pour
limite 0.Si a pour limite 0 alors, si
elle est définie,  tend vers +. |
Preuve: Utilliser les définitions.
Attention : c'est seulement dans le cas où un a un signe constant à partir d'un certain
rang que 
entraîne tend vers + (ou -).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
|
|
|
