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| Théorème. Soit 
et 
deux suites convergentes de limite respective  ; les suites +, et, si , définie alors à
partir d'un certain rang, sont convergentes et ont pour limites respectives  |
Preuve: On donne la preuve seulement pour le produit, les deux autres
étant analogues. La démonstration repose sur une majoration de 
utilisant les
majorations de 
et 
(Preuve).
Dans le langage de l'algèbre linéaire ce théorème démontre, en particulier,
que l'ensemble 
des suites convergentes est un sous espace vectoriel de 
(il suffit de
considérer la suite
comme produit de la suite constante dont tous les termes sont égaux à
, par la suite et que
l'application
est une forme linéaire (cf cours d'algèbre).
Sur le plan pratique il permet d'étudier certaines suites en les décomposant.
| La somme de deux suites divergentes est divergente. Vrai ou faux? |
On déduit immédiatement du théorème précédent que l'ensemble 
des suites
convergentes dont la limite est nulle est un sous-espace vectoriel de . Par ailleurs pour les
suites de on a le
théorème suivant.
| Théorème. Soit et deux suites
réelles; on suppose que est convergente et a pour limite 0 et que est bornée, alors la suite est convergente
et a pour limite 0. |
Preuve: La suite |un| est proche de 0 à partir d'un certain rang N1. La suite (vn) est bornée à partir d'un certain rang N2. On considère N=max(N1,N2) (Preuve).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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