Analyse 1 Suites de nombres réels Théorèmes de comparaison Théorème de comparaison

Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.

Théorème. Soient et deux suites réelles vérifiant on a alors .

Preuve: Par l'absurde (Preuve).

Remarques
a. Il suffit que les inégalités (i) soient vérifiées à partir d'un certain rang.
b. Si, dans la condition (i) on remplace l'inégalité large par une inégalité stricte la conclusion reste la même (inégalité large).
Par exemple les suites vérifient or on a .

c. Dans le cas de suites tendant vers , si la condition (i) est vérifiée on ne peut conclure que dans les cas suivants :

(ii)' si la suite tend vers + alors la suitetend vers +

(ii)" si la suite tend vers - alors la suite tend vers -.

Il est inutile d'insister sur l'intérêt du théorème suivant tant son usage est fréquent ! Ses dénominations (théorème sandwich ou théorème des gendarmes) résument bien la situation.

Théorème. Soient et trois suites réelles vérifiant : (i) (ii) ; alors la suite converge et a pour limite .

Preuve: L'écriture de la convergence des suites u_n et w_n fait apparaître des rangs N₁ et N₂. On considère N=max(N₁,N₂) (Preuve).

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

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