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| Théorème. Soit  une suite croissante de
réels, (a) si est majorée, elle
est convergente et  ,
(b) si |
Preuve: On a, pour les suites monotones, un théorème spécifique qui permet de les étudier de façon simple. Sa démonstration repose sur l'existence de la borne supérieure pour une partie non vide majorée de R (Preuve).
Remarques
a. Le théorème est vrai si est
croissante à partir d'un certain rang c'est-à-dire :
b. On a un énoncé analogue pour les suites décroissantes.
c. On remarque donc la situation particulière des suites monotones : il n'y a
qu'une catégorie de suites divergentes : suites tendant vers +
pour les suites croissantes, suites tendant
vers - pour les suites décroissantes. Le phénomène de suite sautante comme (cos n)
(illustration graphique),
((-1)n)
(illustration graphique)
ou 
(illustration graphique)
ne peut se rencontrer dans ce cas.
d. Le théorème des suites monotones est un outil important dans l'étude des
suites récurrentes.
Toutefois il ne faut pas exagérer son importance : beaucoup
de suites ne sont pas monotones, comme les trois suites que nous venons de citer : (cosn),
((-1)n) ou et il
ne donne aucune idée de la rapidité de la convergence éventuelle de la suite.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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