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| Définition. Soit 
une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy
si :quel que soit  >0,
il existe un entier N tel que les inégalités p N et nN entraînent  . |
Soit encore
.
On doit insister, dans cette définition, sur le fait que la condition doit être
réalisée, pour tout couple (n,p) où n et p
sont supérieurs à N; en particulier la condition 
n'entraine pas que la suite est une suite de Cauchy,
comme on le verra dans l'exemple b plus loin.
Une suite qui n'est pas de Cauchy est caractérisée par :
.
(Exemples)
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une
conséquence de l'inégalité triangulaire : si 
sont petits il en est de même pour 
. En revanche, si
l'on considère la suite U définie par :
,
il s'agit d'une suite de rationnels qui converge dans R, donc est de
Cauchy, or sa limite 
n'appartient pas à Q : la convergence
d'une suite de Cauchy est liée à une propriété spécifique de R.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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