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| Théorème. (Critère de Cauchy). Une suite de réels est convergente dans R si, et seulement si, c'est une suite de Cauchy. |
Preuve: La preuve de la condition suffisante repose sur la propriété de la borne supérieure dans R et la construction de 2 suites adjacentes (Preuve).
Remarque
On traduit ce théorème en disant que R est un corps complet ce qui
signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de R est convergente dans R;
R est le complété de Q c'est à dire le plus petit corps
complet contenant Q. Signalons aussi que, tandis qu'une méthode de
construction de R vise à donner à tout ensemble majoré une borne supérieure,
une autre a pour but de rendre toute suite de Cauchy convergente. C'est une méthode
très générale dite de complétion .
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
