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Une suite convergente est bornée, la réciproque est fausse mais le théorème de
Bolzano-Weirstrass exprime qu'une suite bornée admet une suite extraite convergente.
Le théorème de Bolzano- Weierstrass est un "grand" théorème non seulement
parce que son rôle est fondamental dans l'étude globale des fonctions mais parce
que, pour une suite 
réelle, la
propriété est bornée étant
équivalente à prend ses valeurs
dans un intervalle fermé borné de R, le théorème de Bolzano- Weierstrass
caractérise une propriété des intervalles fermés bornés de R la compacité.
| Théorème. De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. |
Preuve: On construit la suite extraite par dichotomie c'est à
dire en coupant successivement en 2, les intervalles contenant une infinité de termes
de la suite
(Preuve).
Remarque: Autre preuve se basant sur les suites adjacentes
(Remarque).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
