Tous les entiers de la
forme ax + by sont des multiples du pgcd de a et b. Il est
évident que tout multiple de d appartient à S :
m(ax0 + by0) = a(mx0) + b(my0)
Par ailleurs d
divisant a et b, il divise tous les entiers de la forme
ax + by. On a donc montré que l'ensemble S est constitué des
multiples de d.
Remarque :
u et v ne sont
pas uniques. Par exemple, u + kb et v - ka répondent aussi au
problème.
Attention
S'il existe un couple
d'entiers u et v tels que au + bv = d', on peut seulement
conclure que d' est un multiple du pgcd de a et b. En
général, le théorème de Bézout n'admet pas de réciproque sauf
dans le cas particulier des nombres premiers entre eux que nous
étudions dans le chapitre suivant.
