On a montré que le ppcm divise tout multiple commun à a et b.
Réciproquement, si un multiple commun positif de a et b divise
tout multiple commun de a et b, c'est le ppcm de ces deux
nombres.
Propriété caractéristique du ppcm :
Soient a et
b deux entiers non nuls, un multiple commun positif de a et
b est le ppcm de ces deux nombres si et seulement si il divise
tout multiple commun de a et b.
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Relation entre pgcd et ppcm :
Soient deux entiers
positifs a et b, M = ppcm(a,b) et d = pgcd(a,b).
Alors
on a la relation : ab = Md
Démonstration :
Avec les notations précédentes,
M=da'b' est le ppcm de a et
de b.
Alors M = da'b' et dM = d 2 a'b' = (da')(db') = ab, ce qui est
la relation cherchée.
| ab = pgcd(a,b) × ppcm(a,b)
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