Soient M le ppcm de
deux entiers positifs a et b,
et d leur pgcd,
M = ppcm(a,b) et d = pgcd(a,b).
Puisque d est le
pgcd de a et b, il existe deux entiers a' et b', tels que
a=da', b=db' et pgcd(a',b') = 1.
Le ppcm de a et b est
donné par la formule :
Démonstration :
Posons M1 = da'b'. Il est
clair que M1 est un multiple commun de a et de b. Montrons
que c'est le ppcm de a et b en montrant qu'il divise tout
multiple commun de a et b.
Soit m un multiple commun de a et de b.
C'est un multiple de
a, donc il existe un entier p tel que m = ap = da'p.
C'est un
multiple de b, donc il existe un entier q tel que m = bq = db'q.
Par conséquent da'p = db'q et donc a'p = b'q.
Appliquons le
théorème de Gauss, sachant que a' divise b'q et est premier
avec b', on peut
déduire que a' divise q et qu'il existe un entier r
tel que q = ra'.
On a obtenu m = db'ra' = (da'b')r et donc m est
un multiple de M1, ce qui démontre que M1 = da'b' est le ppcm
de a et de b.
