est un sous-espace vectoriel.
Preuve du 1 : est un sous-espace vectoriel.
Il suffit de vérifier que 
n'est pas vide et que possède la propriété :
L'ensemble
n'est pas vide car il contient
tout F et il contient tout G.
Soient
u et u' des éléments de ,
il existe alors deux éléments de F, x et x',
et deux éléments de G, y et y', tels que
et 
.
Soient 
et 
des scalaires. En utilisant les axiomes des espaces vectoriels, on obtient :
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