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Le déterminant de deux vecteurs  ,  de  2 est nul si et seulement si ces deux
vecteurs sont dépendants. det(, ) = ad - bc = 0 équivaut à et dépendants. |
Démonstration directe :
Si et sont dépendants, alors l’un des vecteurs est nul
ou les deux vecteurs sont colinéaires : = 0 ou = 0 ou = l. Dans ces trois
cas, ad - bc = 0.
Réciproque : on suppose que le déterminant nul ad - bc = 0 et on examine plusieurs cas suivant que a est nul ou non :
= 0 ;
et sont colinéaires.
0 on peut écrire d = b/a c ; alors on a (c, d) = c/a (a, b) et donc = c/a .
et sont dépendants.
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