Géométrie analytique Forme trilinéaire alternée

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 résumé résumé

Forme trilinéaire alternée

Calculons det : R3 flèche R en utilisant que c’est une forme trilinéaire alternée. En développant det3, on obtient 27 termes

somme det

Beaucoup sont nuls car ils correspondent à det(ei, ej, ek) avec au moins deux vecteurs égaux. Seuls restent 6 termes non nuls quand i, j, k forment une permutation de {1, 2, 3}. On a :

det(e1, e2, e3) = det(e3, e1, e1) = det(e2, e3, e1) 
= - det(e1, e3, e1) = -  det(e3, e2, e1) = - det(e2, e1, e3)

Ceci conduit à étudier les permutations des nombres 1, 2, 3.