| Intégration | Intégrale de Riemann | Définition | Fonctions intégrables |
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| Intégration | Intégrale de Riemann | Définition | Fonctions intégrables |
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Fonction intégrable au sens de Riemann
On considère une fonction f
bornée sur 
.
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Définition. On dit que
f est intégrable au sens de Riemann ( ou Riemann intégrable
sur
On note alors ce nombre |
Quand il n'y a pas d'ambiguité on
omettra f et [a,b] dans les notations 
,
et l'on parlera de fonction intégrable sans préciser au
sens de Riemann.
Conséquences :
a. Si s
est une subdivision quelconque de ,
alors 
.
En particulier, si 
et
, on
a 
.
b. Si f est constante sur ,
alors f est intégrable et :
d’où 
.
On a défini l’intégrabilité d’une fonction par l’égalité d’une borne inférieure et d’une borne supérieure, c’est très abstrait. Le théorème suivant, qui exprime une condition nécessaire et suffisante, permet de franchir l’étape qui consiste à passer de borne supérieure à limite de suite.
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Théorème. Pour
que f soit intégrable sur
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Application immédiate : exemple de fonction non intégrable, la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels.
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Groupe MMM Maths L'UTES Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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intégrale définie de f sur l’intervalle
.