Intégration

Intégrale de Riemann

Définition

Préliminaires

Préliminaires

À certaines parties du plan on associe une mesure (propriétés demandées à une mesure) qu’on appelle aire.

Soient  I un intervalle de R, f une application de I dans R₊, a et b deux points de l’intervalle I, a < b ; on note :

,

et on cherche à définir le symbole de telle sorte que ce nombre représente l’aire de E_a,b(f).

Compte tenu des propriétés demandées, les conditions suivantes doivent être vérifiées :

1. si f est constante positive :, on a alors ,
2. si : on a alors ,
3. si on a alors :.


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On complète ces conditions par

4. si f est constante négative : , alors ,

ce qui revient à compter négativement les aires en dessous de l’axe des x.

Désormais on ne supposera donc plus la fonction considérée f positive. On a ainsi établi quatre conditions nécessaires, elles entraînent que si c est un point de et si l’on pose :

et

le nombre doit vérifier :

.

On va définir le symbole en

- découpant l’intervalle ,

- encadrant la fonction f par des fonctions constantes sur chaque intervalle (d’où la nécessité

pour f d’être bornée sur ,

- additionnant les aires correspondantes.

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Groupe MMM Maths L'UTES Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)