Mécanique - Chapitre F - 3

F.3. Energie potentielle La fonction énergie potentielle Champs de forces conservatif   F.3.1. La fonction énergie potentielle Si l' on considère une particule p située en M et soumise à un champ de forces indépendant du temps, on dit que ce champ dérive d' un potentiel s' il existe une fonction scalaire U(M) telle que . Envisageons un déplacement élémentaire de M à M' ; dans ce champ, le travail élémentaire de la force est alors: Or,   Au cours d' un déplacement fini d' un point 1 à un point 2, on obtient:            La variation du potentiel scalaire au cours d' un déplacement fini est égale et de signe opposé au travail de la force. Le travail sur un chemin ouvert ne dépend que du point de départ et du point d' arrivée et est nul sur un contour fermé. Un tel champ est un champ de forces conservatif. Pour un déplacement élémentaire, le travail de la force est l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle: Remarque: Le travail de la force opposée au champ dépend du contour (C) entre M1 et M2; lorsque le champ est un champ de gradients, ce travail dépend du bi-point (M1, M2) : seules interviennent les valeurs des points de départ et d'arrivée. La variation DU est la même pour tout un ensemble de fonctions de points et n'importe quel élément de cet ensemble de fonctions donne le même travail. On appelle énergie potentielle de la particule p associée au champ de forces un élément quelconque de cet ensemble qui n' est définie qu' à une constante additive près. La fonction énergie potentielle est la fonction scalaire M Æ U(M) qui prend la valeur nulle pour un point M0 particulier.     La simulation suivante représente le travail d'une force dérivant d'un potention scalaire U.   Travail d'une force dérivant d'un potentiel U   F.3.2. Champs de forces conservatif   La condition pour qu' un champ dérive d' un potentiel est la condition pour qu' un vecteur champ soit un vecteur gradient. Plaçons-nous en coordonnées cartésiennes et supposons que, d'où On peut alors vérifier les égalités suivantes : Ces relations sont appelées également Conditions de Schwartz. Par définition, le vecteur dont les composantes sont A, B, C est le rotationnel de . On le note . Il est nul siest un champ de gradients. La condition pour qu' un champ de forces soit conservatif est que son rotationnel soit nul: Remarque:  En mécanique, la plupart des forces étudiées sont conservatives et dérivent donc d' un potentiel indépendant du temps. Cependant, certaines forces ne sont pas conservatives : les forces de frottement la force de Lorentz qu' exerce un champ magnétique sur une charge électrique q, animée d' une vitesses' écrit . On peut montrer que le rotationnel de cette force n' est pas nul. Faire les exercices : Travaux et Energie potentielle(1ère partie) Travaux et Energie potentielle(2ème partie) Conservation dans un champ de potentiel

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