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Mécanique - Chapitre G - 3 |
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Mécanique - Chapitre G - 3 |
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- L'un des corps, considéré comme source d'un champ, est en quelque sorte oublié et on étudie le mouvement du second dans le champ de gravitation du premier; c'est le problème de ce paragraphe. - Les deux corps constituent un système isolé et on étudie leur mouvement dans le référentiel du centre de masse. Pour pouvoir passer du champ d'accélération (cinématique) au champ de forces (dynamique), il faut écrire les lois de la dynamique (principe fondamental pour les points matériels ou théorème du centre d'inertie pour les systèmes matériels). Or ces lois doivent être exprimées par rapport à un galiléen. Nous supposerons donc à partir d'ici que le référentiel lié au champ de forces (c'est à dire lié à la particule source du champ) est galiléen; ce qui implique que la force de gravitation est colinéaire à l'accélération . Le référentiel lié à la source du champ est donc dans ce chapitre supposé galiléen, sans que cette hypothèse soit pour l'instant justifiée. La recherche de tels galiléens approchés est étudiée au paragraphe G.4.
Considérons un référentiel galiléen et en M une masse ponctuelle m soumise à un champ de forces centrales de centre O. Soit un champ de forces centrales de la forme:
Ce champ peut être attractif ou répulsif
selon le signe de Tous les résultats déjà énoncés dans le chapitre A, sur les mouvements à accélération centrale sont valables. Remarques:
Le moment cinétique a pour expression dans
ce repère On retrouve dans le cas des systèmes planétaires,
la seconde loi de KEPLER.
En utilisant la formule de Binet relative aux accélérations , le principe fondamental de la dynamique s'écrit dans [R] galiléen:
C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec second membre. On sait que sa solution est constituée de la solution générale de l'équation sans second membre à laquelle on ajoute une solution particulière de l'équation avec second membre; la solution générale de l'équation sans second membre est de la forme:
Une solution particulière de l'équation
avec second membre est: La solution de l'équation s'écrit donc, avec des conditions initiales telles que q0 = 0:
Or, on a vu en cinématique que la constante
des aires C est donnée par En posant: L'équation devient: C'est l'équation polaire d'une conique de paramètre p et d'excentricité e. Suivant les valeurs de l'excentricité, la trajectoire est une hyperbole, une parabole, une ellipse, un cercle dont l'origine est un foyer (ou le centre du cercle); e et p dépendant des conditions initiales.
L'animation ci-dessous montre les différentes trajectoires d'un point soumis à l'interaction gravitationnelle pour des vitesses initiales différentes, donc pour des énergies cinétiques différentes.
L'excentricité e de la trajectoire est liée à l'énergie totale de la particule. L’énergie cinétique se détermine en utilisant la formule de Binet de la vitesse ; l'énergie potentielle est celle calculée dans le champ de gravitation. La formule de Binet de la vitesse est : L'énergie cinétique de la particule
s'écrit: L'énergie potentielle en prenant l'origine
des énergies potentielles à l'infini: En prenant pour r son expression déduite de
l'équation de la trajectoire, l'énergie E =
Comme On vérifie que l'énergie est une constante du mouvement; si nous appelons E0 la valeur initiale de cette énergie, l'équation précédente donne:
Sous cette forme, on voit que l'excentricité dépend de l'énergie initiale, de la constante des aires, de l'expression du champ étudié. La trajectoire est: - une hyperbole si e > 1, E0 > 0 - une parabole si e = 1, E0 = 0 - une ellipse si e < 1, E0 < 0 - un cercle si e = 0, E0 < 0 Dans les problèmes de type gravitationnel (planètes, satellites), K est positif (constante de gravitation, interaction attractive), l'énergie potentielle est négative; e peut être quelconque selon les conditions initiales et les trois cas sont possibles. Dans le cas de l'interaction gravitationnelle, l'ellipse correspond aux mouvements planétaires. Nous retrouvons la première loi de KEPLER:
Lorsque l'énergie cinétique de la masse
d'épreuve est inférieure à son énergie potentielle dans
le champ de la source, les caractéristiques du mouvement sont:
Pour ces trajectoires, les valeurs des axes en fonction des paramètres des coniques sont données ; on peut ainsi exprimer l'énergie du système en fonction de sa forme : A partir des relations précédentes
on transforme
La vitesse aréolaire est constante; le temps mis par le mobile pour décrire le périmètre de l'ellipse est appelé période du mouvement notée T. La vitesse aréolaire est donnée par:
La surface de l'ellipse est S = p a b; le temps mis par le rayon vecteur pour balayer cette surface est T. La vitesse aréolaire étant constante, elle peut donc s'écrire: Par suite:
En donnant à b la valeur et comme
Cette expression constitue la troisième loi de Képler.
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Mécanique - Chapitre G - 3 |
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G.3. Mouvements dans
le champ de gravitation
G.3.1. Conservation du moment cinétique dans un champ de forces
centrales
.
; il est de norme constante et la trajectoire est décrite
suivant la loi des aires.
où A et q 0 sont des constantes
d'intégration.
ou encore 
+ U pourra s'écrire
:
, il vient:
ce qui donne
la valeur de la vitesse initiale conduisant à des trajectoires fermées
(liées)
; en comparant à:
,
on obtient:
La satellisation
,
, il vient: