Analyse 1 Etude locale des fonctions de la variable réelle Fonction continue en un point Continuité et limite de suites

Tout réel étant limite d'une suite de rationnels, il est naturel de penser que, si f est continue en x₀ et si (r_n) est une suite de rationnels qui converge vers x₀, alors la suite (f(r_n)) converge vers f(x₀). Ainsi, si f est continue en , on approche f() en calculant f(3,14), f(3,14159) etc. Cette propriété se montre immédiatement pour toute suite convergeant vers x₀; la réciproque est plus difficile à établir, elle exprime que si, pour toute suite admettant x₀ pour limite, la suite image est convergente, alors f est continue en x₀.

Théorème. Pour qu'une application f de I dans R soit continue en x0 I, il faut et il suffit que, pour toute suite (un) d'éléments de I qui vérifie , la suite (f(un)) soit convergente.

Preuve : 

• Condition nécessaire : la démonstration est analogue à celle de la composée de deux fonctions continues.
  
• Condition suffisante : on précise d'abord que si f(u_n) converge c'est vers f(x₀). Ensuite, une démonstration par la contraposée permet de conclure : on suppose que f est non continue et on construit une suite u_n qui converge vers x₀ et telle que f(u_n) ne converge pas.

(Preuve)

Ce théorème est fondamental car il fournit, dans sa partie directe, la méthode la plus fréquemment utilisée pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point: il suffit en effet de trouver une suite qui converge vers ce point telle que la suite image n'est pas convergente ou admet une limite différente de f(x₀) comme on le verra plus tard.

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Analyse 1 Etude locale des fonctions de la variable réelle Fonction continue en un point Continuité et limite de suites