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La définition de la limite entraîne immédiatement le théorème suivant; on
l'exprime dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point x0,
mais les conclusions restent les mêmes quand x tend vers 
.
| Thèorème. Opérations algébriques Si f et g ont pour limite respective, quand x tend vers x0 ,  et  alors, dans ces conditions,f+g a une limite qui est  fg a une limite qui est  si  0, f/g a une limite qui est 
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Comme pour les suites les opérations sur les limites s'étendent
dans certains cas aux fonctions tendant vers .
On ne peut donner de conclusions générales dans les cas suivants :
pour f+g quand 
, et 
pour fg quand f(x)
, et lim g(x)=0,
pour f/g quand f(x), et 
ou lim f(x)=0 et lim g(x)=0.
Ces deux derniers cas sont liés car
mais
Attention: pour que l'on ait ou 
il faut que f(x)
garde un signe constant.
Donner, avec des fonctions simples, des exemples de "formes indéterminées"
aboutissant à des résultats différents (on prendra par exemple la fonction f : x
x).
| Thèorème. Composition des applications Soit f et g des fonctions définies respectivement sur I(ou I \{x0}) et J (ou J \{m}. On suppose que  Si f a une limite m quand
x tend vers x0 et si g a une limite  quand u tend vers m, alors gof a une limite quand x
tend vers x0 et |
La démonstration est immédiate à partir de celle relative à la continuité.
Remarque.
On ne peut donner un tel énoncé pour le concept de limite quand xx 0, xx 0 ; considérons en effet les
fonctions f3 et f4, vues dans les exemples c et
d du paragraphe 1.4., au voisinage de 0, elles ont alors toutes les deux une limite
quand x 0, x0 : on a en effet
. Considérons maintenant la fonction f3of4
au voisinage de 0. On a, alors :
,
Tout voisinage de 0 contient des réels de la forme 1/kp et
des réels qui ne sont pas de cette forme; ainsi sur tout
voisinage épointé de 0 la fonction f3of4 prend les
valeurs 0 et 1; elle ne peut donc admettre de limite quand x 
0, x0. En fait si l'on
considère les restrictions de f3 et f4 à R*
on a : f4(R*)
R*.
C'est ce point relatif à la composition des applications qui a, du reste, conduit à
privilégier le concept de limite quand xx0 .
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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