Analyse 1 Etude locale des fonctions de la variable réelle Prolongement par continuité. Limite Théorème de la limite monotone

Le théorème suivant est d'un grand intérêt pratique car il concerne de fait les fonctions monotones au voisinage d'un point. On en donne un énoncé et une démonstration relatifs à une situation donnée : intervalle ouvert et majoré, fonction croissante, point considéré borne supérieure de l'intervalle; il s'adapte sans difficulté aux autres situations.

Thèorème. Soit I un intervalle ouvert et majoré dont on note la borne supérieure, on considère une fonction f définie et croissante sur I. (i) Si f est majorée sur I alors f admet une limite en et (ii) Si f n'est pas majorée sur I, alors f tend vers + quand x tend vers .

Preuve: (i) repose sur la propriété de la borne supérieure dans R et pour (ii) la démonstration est analogue à celle sur les suites monotones (Preuve).

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Analyse 1 Etude locale des fonctions de la variable réelle Prolongement par continuité. Limite Théorème de la limite monotone