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Soit I un intervalle non réduit à un point de R, x0 un point de I et f une application de I dans R..
| Définition. On dit que f est dérivable en x0 si l'une ou l'autre des conditions a ou b est vérifiée. (a) La fonction (b) Il existe un réel A et une fonction
On a alors A = f'(x0), f'(x0 ) est la dérivée de f en x0 |
L'équivalence entre les deux définitions et l'égalité A = f
'(x0) se démontrent immédiatement.
Les conditions (a) et (b) correspondent à deux points de vue sur la
dérivée en un point :
f'(x0)h;
il s'agit de l'application linéaire qui approche "le mieux" la
variation de f au voisinage de x0.Les deux points de vue sont liés : la tangente est au voisinage du point (x0,
f(x0)) la droite qui approche le mieux le graphe.
En effet, si l'on note M0 le point de coordonnées (x0,
f(x0)), la tangente 
en M0 à Cf
a pour équation 
.
Soit M le point (x0+h, f(x0+h)),
P le point (x0+h,f(x0)+f'(x0)h)
qui appartient à
et H le point (x0+h, f(x0)) .
La mesure orientée 
représente la variation de f quand x varie de x0
à x0+h. De même 
représente la variation de la fonction affine 
quand x
varie de x0 à x0+h.
L'égalité 
montre alors que la tangente est effectivement la droite qui approche le mieux le graphe
de f au voisinage de x0.
De la condition (b) on déduit immédiatement la proposition :
| Proposition. Si la fonction f est dérivable en x0 , alors elle est continue en x0. |
Attention: La réciproque est fausse comme le montrent les exemples suivants:
Exemples de fonctions continues mais non dérivables (Exemples).
Signalons l'existence de fonctions continues en tout point de R mais qui ne sont dérivables en aucun point.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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, définie sur I \{x0}, a une limite
notée f'(x0) en x0.
définie sur I telle que 
.