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De la définition on tire immédiatement la proposition suivante :
| Proposition. Si une suite  est convergente et
a pour limite  , toute suite extraite
de est convergente et a pour limite . |
La preuve est immédiate.
Exemple:
La suite
qui est extraite de la suite
a pour limite 0.
Remarque:
La réciproque est fausse : il est bien évident que la convergence d'une suite extraite d'une suite
extraite de la suite
est convergente tandis que la suite
Une suite est convergente si et
seulement si les suites 
et 
sont convergentes et ont même limite.
Preuve: Appliquer la définition de la convergence en remarquant que
tout entier est pair ou impair
(Preuve).
| Proposition. Toute suite extraite d'une suite qui tend vers +  (resp. -) tend vers + (resp. -). |
La preuve est immédiate.
La réciproque est fausse comme le montre l'exemple de la suite 
dont la suite extraite 
tend vers +. (On remarque que sur ce point il y a analogie dans le comportement
entre suites qui tendent vers +et suites
convergentes : cela conduit à introduire la droite achevée 
soit 
, concept qui n'est pas au programme de ce cours).
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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