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| Théorème. Si  est une suite
convergente d'éléments d'un intervalle I de R dont la
limite  appartient à I et si la fonction
 est continue en , la suite est convergente
et a pour limite (). |
Preuve: Voir le chapitre Fonctions continues.
On déduit de ce théorème que si une suite vérifiant la relation de récurrence 
est convergente et a pour limite et si est continue en , on
a alors :
.
| Définition. Un tel point est dit point fixe de . |
Si la fonction continue n'a pas de
point fixe alors une suite, qui vérifie la relation , ne peut avoir de limite ; en revanche si a un point fixe cela n'entraîne pas que la suite admette ce point comme limite (si a plusieurs points fixes, ne peut avoir comme limite que l'un
d'eux).
En ce qui concerne le graphe de la fonction ,
un point fixe, de coordonnées 
, est
point d'intersection du graphe et de la première bissectrice.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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