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On considère une suite 
définie par la donnée de son premier terme u0 et une
relation de récurrence de la forme
où 
est une fonction
de variable réelle.
Dans un premier temps on étudie certaines des propriétés de la
suite liées à des propriétés de la fonction comme la monotonie ou la continuité. On est
parfois amené à utiliser des théorèmes concernant la continuité des fonctions ou des
propriétés de leur dérivée qui seront vus dans la suite du cours. Enfin on se réfère
fréquemment au graphe (C) de la fonction en particulier dans les exemples où
l'étude graphique constitue une approche de l'étude théorique.
Les exemples étudiés illustrent les situations les plus fréquentes (dans les problèmes!) et non un catalogue de toutes les situations possibles qui peuvent être très complexes.
Pour que la suite soit définie il faut et il suffit que, pour tout entier n, un
appartienne à l'ensemble de définition de . D'où l'intérêt, pour l'étude
de , de
l'existence d'intervalles stables par c'est à dire contenus dans l'ensemble
de définition et tels qu'on ait 
. En effet une récurrence immédiate montre alors que si u0
appartient à I, un appartient à I pour tout entier n.
Ainsi, dans le cas de la suite U définie au début.
l'intervalle [1,2] est stable par la fonction .
Dans tout ce paragraphe nous considérerons une fonction et un intervalle I
stable par.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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