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| Théorème. Si f et g sont continues sur I; alors f+g, fg et, si g ne s’annule pas sur I, f/g sont continues sur I. |
Preuve : application immédiate des
théorèmes algébriques relatifs aux fonctions continues en un point.
On déduit de ce théorème que l'ensemble C(I,R)
des applications continues de I dans R est un sous espace vectoriel de
l'espace vectoriel F(I,R).
On en déduit également les propriétés suivantes concernant des fonctions classiques:
-les fonctions polynomiales :
sont continues sur R ;
-les fonctions rationnelles 
sont continues sur tout intervalle qui ne
contient pas un zéro de Q;
-la fonction tangente est continue sur tout
intervalle 
.
Théorème de composition : Soient
I et J deux intervalles de R, f une application de I dans R et
g une application de J dans R telles que . Si f est continue sur I et g continue sur J, alors gof est continue
sur I . |
Preuve : application du théorème relatif à la continuité en un point
Remarque : Ces deux théorèmes permettent souvent de conclure à la
continuité d'une fonction dans son ensemble de définition, à l’exception
éventuelle de quelques points pour lesquels on doit faire une étude directe locale.
C'est le cas, à l'origine, de la fonction plusieurs fois rencontrée :
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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