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Problème: résolution de l'équation f(x)=0, f étant continue.
Théorème. Soit f une
fonction continue sur un intervalle fermé, borné  ; si la condition  est vérifiée alors l’équation  a au moins une solution sur . |
Méthode de la preuve:
a. Construire, par la méthode de
dichotomie, une suite d’intervalles emboités 
inclus dans , dont la longueur tend vers 0 et telle qu’on ait : 
.
b. Montrer que les suites 
sont adjacentes.
c. Soit c leur limite commune. Dans le cas où les suites 
ont pour limite f(c),
l’application du théorème sur le prolongement des inégalités donne f(c)
= 0.
D'où l'intérêt de l'hypothèse de continuité qui a pour
conséquence la convergence des suites
vers f(c).
(Détail)
Exemple (vidéo de 6,5 Mo)
| Théorème (des valeurs intermédiaires).
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé, borné ; alors f prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b). |
Preuve : soit k un réel compris entre f(a) et f(b), on applique le théorème précédent à la fonction f – k.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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