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On a vu dans l’introduction que l’image
d’un intervalle par une fonction non continue comme la fonction partie entière
(notée E) n’est pas nécessairement un intervalle ainsi :
. Pour une fonction continue la situation est
plus simple.
| Théorème. L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. |
Preuve : On doit montrer
qu’étant donné deux points y1 et y2
appartenant à f(I) , l’intervalle 
est inclus dans
f(I) .
Cette démonstration repose sur le théorème des valeurs intermédiaires.(Preuve)
Remarque fondamentale:
Les caractères : ouvert, semi-ouvert, borné ne
sont pas conservés par continuité (exemple1,
exemple2).
En revanche le caractère fermé et borné se conserve par une fonction continue, ceci est l’objet du très important théorème suivant.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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