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| Théorème. L’image d’un intervalle fermé, borné par une fonction continue est un intervalle fermé, borné . |
Preuve
On considère un intervalle fermé borné 
et une application continue de 
dans R.
On étudie l’image 
et on montre
successivement les points suivants :
a.
est
borné,
b. 
admet un plus grand élément et un plus petit élément, notés respectivement M
et m,
c. 
.
La démonstration repose sur deux théorèmes :
- le théorème de Bolzano-Weierstrass qui permet, l’intervalle étant fermé, borné,
d’extraire de toute suite d’éléments de une suite convergente,
- le théorème qui lie continuité d’une fonction en un point et convergence des
suites images 
, pour toutes les suites (un)
qui convergent vers ce point. (Détail
de la preuve)
Remarque : Cette propriété
est une propriété des fonctions continues, on peut considérer aussi que c’est une propriété des intervalles fermés bornés comme dans le cas du
théorème de Bolzano-Weierstrass ; un intervalle fermé borné est tel que :
- toute suite d’éléments de cet intervalle admet une suite extraite convergente,
- l’image de cet intervalle par toute fonction continue est un intervalle fermé,
borné.
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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