Analyse2 Étude globale  Continuité sur un intervalle Fonctions uniformément continues sur un intervalle

Pourquoi une nouvelle notion ?

Définition. Soit f une application d’un intervalle I dans R; on dit que f est uniformément continue sur I si : .

On comparera cette définition à celle de la continuité sur I, en ce qui concerne  la place des quantificateurs et on notera qu’on ne parle pas de fonction uniformément continue mais de fonction uniformément continue sur un ensemble, ici un intervalle.

Une famille importante de fonctions uniformément continues sur un intervalle est celle des fonctions lipschitziennes sur cet intervalle.

Définition. Soit f une application d’un intervalle I dans R; on dit que f est lipschitzienne sur I, s’il existe un réel k tel que l’on ait : . On dit alors que f est lipschitzienne de rapport k sur I. Dans le cas où le réel k vérifie 0<k<1, f est dite contractante.

On a les implications évidentes suivantes :
f lipschitzienne suruniformément continue sur continue sur I.

Les réciproques sont fausses .(Preuve (vidéo de 6 Mo))

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

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