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| Théorème. Soit f une application d’un intervalle I dans R ; l'application f est convexe si et seulement si l’ensemble Ef est convexe |
Illustration (vidéo de 3,5 Mo)
Preuve :
On utilise le fait qu'un point d'un segment est barycentre à coefficients positifs
des extrémités du segment. (Preuve).
| Application : Inégalité de
Jensen Soient f une fonction
convexe sur I, x1,
x2 …xn n points de I et
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Preuve
On fait un raisonnement par récurrence sur n. (Preuve )
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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, n
réels strictement positifs tels que 
. On
a alors :
.