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| Théorème. Soit f une
application d’un intervalle I dans R ; on note
la fonction taux d’accroissement en a ; f est convexe si et
seulement si , pour tout |
Preuve : Il faut envisager différents cas suivant les positions respectives de x1 , x2 et a.
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Théorème. Soit f une fonction convexe sur un intervalle I de R. Alors f est dérivable à droite et à gauche et donc continue en tout point intérieur à I. |
Preuve : C'est une application du
théorème précédent (Preuve)
Remarque : Lorsque f est convexe sur un intervalle qui
n’est pas ouvert elle n’est pas nécessairement continue aux bornes:
Exemple
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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, la fonction ra est croissante sur I \ a.