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| Lemme. Soit
f une fonction convexe et dérivable sur un intervalle I de R . Si a est un point intérieur à I, on a :
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Preuve : Il s'agit d'une conséquence immédiate du théorème précédent.
| Théorème. Soit f une fonction dérivable sur I ; alors f est convexe sur I si et seulement si f’ est croissante sur I. |
Preuve : On utilise le lemme pour la condition nécessaire et le théorème des accroissements finis pour la condition suffisante(Preuve).
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Corollaire. Soit f une fonction
deux fois dérivable sur I
; f est convexe sur I
si et seulement si f’’ est positive sur I.
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Preuve : Immédiat
Exemples
Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
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