Analyse2 Étude globale  TAF Inégalité des accroissements finis

Du théorème des accroissements finis sous sa seconde forme on déduit immédiatement l’inégalité des accroissements finis. Celle-ci est plus générale que le théorème des accroissements finis, dans la mesure où elle s’étend à d’autres fonctions que les fonctions numériques de variable réelle, par exemple les fonctions de Rⁿ dans R ou de R dans C.
De plus, dans le théorème des accroissements finis, le point c qui intervient n'est pas connu, tandis que, à partir d'informations générales sur la dérivée on peut tirer des conclusions sur la différence f(x_i)-f(x₁)) pour tout couple

Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, on suppose qu’il existe un réel M>0 tel que alors :

La fonction est alors lipschitzienne de rapport M, et dans le cas où M <1 elle est contractante. Les applications contractantes, comme nous l’avons déjà vu, ont un rôle très important dans l’étude des suites.

La preuve est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

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