Analyse2 Étude globale  TAF Formule et inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème. Soit f une application de l’intervalle dans R vérifiant les conditions suivantes : (i) pour tout k=0,1…n, f(k)) existe et est continue sur , (ii) f (n+1) existe sur . Alors il existe tel que :

Preuve
Comme dans le cas de la formule des accroissements finis la démonstration consiste à appliquer le théorème de Rolle à une certaine fonction (Preuve)

On énonce encore le théorème de Taylor-Lagrange sous la forme suivante (I n’est pas nécessairement fermé, borné).

Théorème. Soit f une fonction n+1 fois dérivable sur un intervalle I et x0 un point de I ; alors, pour tout h réel tel que,  il existe tel que :

Preuve

Dans le cas h > 0 on applique le théorème précédent avec , sinon on reprend la démonstration.

 

Groupe MMM Maths UPI Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Analyse2 Étude globale  TAF Formule et inégalité de Taylor-Lagrange