Développements limités Définitions et propriétés Définition et exemples

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Voici la définition des développements limités.

Définition 1

Soit f définie sur un voisinage pointé de 0, noté V* (0). On dit que f possède un développement limité à l'ordre n en 0, si
  1. il existe un polynôme Pn (x) de degré inférieur ou égal à n ;
  2. il existe une fonction e définie sur V*(0), vérifiant limx ® 0 e (x) = 0, tels que :

    f (x) = Pn (x) + x n e (x) ;

Pn est appelé partie principale, et x n e (x) reste, du développement limité.

Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de p £ n ne permet pas de connaître n... C'est en regardant l'exposant de x dans le reste x n e (x) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.

Par exemple 2 + 3 x - 7 x 3 + x 5 e (x) (il est sous-entendu que limx ® 0 e (x) = 0 ) est un développement limité à l'ordre 5 (et non pas à l'ordre 3).

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