Titre 1-3détail

Développements limités

Définitions et propriétés

Définition et exemples

Exemple 1.

Soit un polynôme f(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_p x ^p ; f admet des développements limités en 0 à tout ordre n ; pour les expliciter, il faut discuter suivant p :

si p £ n, c'est évident : P_n (x) = f(x) et e (x) = 0 ;

si p > n, on écrit f sous la forme
f(x) = a₀ + ... + a_n x ⁿ + x ⁿ (a_n+1 x + ... + a_p x ^p-n ) ; on a un développement limité à l'ordre n en 0 : la partie principale est P_n (x) = a₀ + ... + a_n x ⁿ et le reste x ⁿ e (x) où e (x) = a_n+1 x + ... + a_p x ^p-n qui tend bien vers 0 avec x.
Ainsi, si f(x) = 1 + 3x + 4x ² + 5x ⁴ - 8x ⁶ , alors f admet (entre autres) les développements limités suivants :

ordre développement

2 1 + 3x + 4x ² + x ² e₁ (x)

3 1 + 3x + 4x ² + x ³ e₂ (x)

4 1 + 3x + 4x ² + 5x ⁴ + x ⁴ e₃ (x)

12 1 + 3x + 4x ² + 5x ⁴ - 8x ⁶ + x ¹² e₄ (x)

Développements limités Définitions et propriétés Définition et exemples

ordre	développement
2	1 + 3x + 4x ² + x ² e₁ (x)
3	1 + 3x + 4x ² + x ³ e₂ (x)
4	1 + 3x + 4x ² + 5x ⁴ + x ⁴ e₃ (x)
12	1 + 3x + 4x ² + 5x ⁴ - 8x ⁶ + x ¹² e₄ (x)