Lorsque f est de classe C ⁿ⁺¹ sur un voisinage de 0, f possède un développement limité à l'ordre n en 0. Mais la réciproque est fausse en général comme on va le voir ; on a quand même le résultat suivant :

Proposition 3

Soit f définie sur un voisinage pointé de 0 ; on suppose que f possède un développement limité à l'ordre n en 0, avec n ³ 1. Alors on peut prolonger f en 0, en une fonction dérivable au point 0.

Preuve
En effet, pour tout x Î V*(0) : f(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_n x ⁿ + x ⁿ e (x).
Posons f(0) = a₀, alors :

La fonction f, ainsi prolongée, est donc dérivable en 0, et de plus f ' (0) = a₁ :

Exemple : On peut montrer que f admet développement limité à l'ordre n en 0, pour tout n Î  ; en particulier pour n = 2 :

f(x) = - ¹/₃ x + x ² e (x). En posant f(0) = 0, on prolonge f en une fonction dérivable au point 0 (f '(0) = - 1/3).

Cependant, de manière générale, l'existence, pour f, d'un développement limité à un ordre n ³ 2 en 0, n'entraîne pas des propriétés de dérivabilité à des ordres k ³ 2. Regardons, par exemple, la fonction f définie par :