Développements limités Définitions et propriétés f est paire

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Le résultat suivant permet souvent de contrôler ses calculs et d'y déceler d'éventuelles erreurs.

Proposition 2

Si f est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un développement limité à l'ordre n en 0, alors la partie principale ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de la variable x.

Preuve
En effet, soit f(x) = P(x) + x n e (x) le développement limité de f à l'ordre n en 0 ; traitons le cas où f est paire. Posons j(x) = f(x) - f(- x) ; on a :

j(x) = P(x) - P(- x) + x n e (x) - (-1) n x n e(- x)

soit en notant Q(x) = P(x) - P(- x) et e1 (x) = e (x) - (-1) n e(- x)

(*) j(x) = Q(x) + x n e1(x), avec deg Q £ n et limx ® 0 e1(x) = 0 ;

(*) est donc le développement limité de j à l'ordre n en 0 ; mais comme j = 0 on a aussi j(x) = 0 + x n × 0 ; on actionne le théorème d'unicité : Q = 0 et donc le polynôme P est pair.

Exercice : adapter la démonstration au cas d'une fonction j impaire.

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