Le résultat suivant permet souvent de contrôler ses calculs et d'y déceler d'éventuelles erreurs.
Proposition 2
Si f est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un développement limité à l'ordre n en 0, alors la partie principale ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de la variable x. |
Preuve
En effet, soit f(x) = P(x) + x n e (x) le développement limité de f à l'ordre n en 0 ; traitons le cas où f est paire. Posons j(x) = f(x) - f(- x) ; on a :
j(x) = P(x) - P(- x) + x n e (x) - (-1) n x n e(- x)
soit en notant Q(x) = P(x) - P(- x) et
(*) j(x) = Q(x) + x n e1(x), avec deg Q £ n et limx ® 0 e1(x) = 0 ;
(*) est donc le développement limité de j à l'ordre n en 0 ; mais comme j = 0
on a aussi
Exercice : adapter la démonstration au cas d'une fonction j impaire.