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On a vu que lorsque f est de classe C n + 1 sur un voisinage de 0, elle admet un développement limité à l'ordre n en 0.
La réciproque est-elle vraie ? Non ! On peut toutefois donner le résultat suivant :
Plus précisément, si
f (x) = a0 + a1x + a2 + x 2 + ... + an + x n + x n e (x) et lim x ® 0 e (x) = 0,
la fonction f peut se prolonger en 0 en posant f (0) = a0 ; la fonction prolongée est alors dérivable et vérifie f ' (0) = a1.
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