Courbes de niveau et équations différentielles exactes

Courbes de niveau

Soit F(x, y) une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, ayant des dérivées partielles continues.
On peut se représenter la fonction F comme un relief sur ², le point de coordonnées (x, y) ayant comme altitude F(x, y). Une courbe de niveau  de F est un sous-ensemble

N_C = {(x, y) ; F(x, y) = C}.

où C est un réel donné ; sur le relief, N_C est l'ensemble des points ayant la même altitude C.

Si la courbe de niveau  N_C n'est pas vide, c'est en général une réunion de graphes de fonctions réelles y = u(x). Nous allons voir que, "grosso-modo", toutes les courbes de niveau sont réunion de graphes des solutions d'une même équation différentielle, attachée à la fonction F.

Equation différentielle des courbes de niveau

Si une portion d'une courbe de niveau N_C est le graphe d'une fonction dérivable u(x) définie sur un intervalle I on a, pour tout x de I, F(x, u(x)) = C.
La dérivée de la fonction G(x) = F(x, u(x)) est donc nulle.
On sait calculer G'(x) :
G'(x) = ¶F/¶x(x, u(x)) + u'(x) ¶F/¶y(x, u(x)).
Comme G'(x) = 0, on a ¶F/¶x(x, u(x)) + u'(x) ¶F/¶y(x, u(x)) = 0.
Posons donc H(x, y) = ¶F/¶x (x, y), et J(x, y) = ¶F/¶y (x, y).
La fonction y = u(x) vérifie donc l'équation J(x, y) y' + H(x, y) = 0.

Sur l'ensemble des point (x, y) où J(x, y) est différent de 0, u est donc solution de l'équation différentielle y' = - H(x, y)/J(x, y).

Définition et résolution d'une équation différentielle exacte

Inversement, devant une équation donnée sous la forme J(x, y) y' + H(x, y) = 0, on peut se demander s'il existe une fonction F(x, y) telle que
H(x, y) = ¶F/¶x (x, y) et J(x, y) = ¶F/¶y (x, y).
D'après l'égalité des dérivées croisées (¶²F/¶x¶y = ¶²F/¶y¶x), il est nécessaire que l'on ait ¶H/¶y = ¶J/¶x. Si c'est le cas, on dit que l'équation différentielle est exacte.

On peut montrer que cette condition est aussi suffisante pour que F existe.
Si l'on sait trouver la fonction F, les solutions sont définies implicitement par F(x, y) = C ; on les trouve explicitement en résolvant l'équation F(x, y) = C par rapport à y.

Nous verrons à la page suivante comment trouver la fonction F.